[2017년 백석고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

함수 [eqn: f(x)=3x^3 -7x^2 +5x+6]에 대하여 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 2]까지 변할 때의 평균변화율을 [eqn: a], [eqn: x=-1]에서의 미분계수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: 19]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 31]

함수 [eqn: f(x)=-2x^2 +5x+7]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: [a,```2]]에서 평균값 정리를 만족하는 상수 [eqn: c]의 값이 [eqn: 5over4]이다. [eqn: a<1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 1over4]	③ [eqn: 2over5]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 2over3]

정적분 [eqn: int_0 ^2 |x-1 |dx]의 값은? [4.2점]

②

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

어느 다이빙 선수가 높이 [eqn: 10RMm]의 다이빙대에서 뛰어오른 지 [eqn: t`]초 후의 수면으로부터의 높이를 [eqn: x rmm]라고 하면 [eqn: x=10+2t-t^2]이라고 한다. 이 선수가 수면으로부터 가장 높이 있는 순간은 뛰어오른 지 [eqn: alpha]초 이후이고, 그 때의 수면으로부터의 높이는 [eqn: beta rmm]이다. [eqn: alpha+beta]의 값은? [4.2점]

④

① [eqn: 15]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 11]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (-1,```2)]에서의 접선의 방정식이
[eqn: y=5x+7]이다. 곡선 [eqn: y=(2x^2 -3x-2)f(x)+3x-5] 위의 [eqn: x=-1]인 점에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)]라 할 때, [eqn: g(1)]의 값은? [4.6점]

③

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

두 함수 [eqn: f(x)=- 2over3 x^3 +2x^2 +4x-7], [eqn: g(x)=x^4 +2x^3 -4x+a]에 대하여 부등식 [eqn: f(x)<g(x)]가 항상 성립하도록 하는 정수 [eqn: a]의 최솟값은? [4.6점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

아래 그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: RMP]의 시각 [eqn: t]일 때의 속도 [eqn: v(t)]를 나타낸 그래프이다. 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: 0<t<7]에서 [eqn: v(t)]는 미분가능하다.) [4.6점]

⑤

① 출발한 후에 원점을 [eqn: 3]번 지나간다.

② 출발한 지 [eqn: 3]초 후의 가속도는 최대가 된다.

③ 출발 후 [eqn: 7]초 동안 운동 방향이 [eqn: 5]번 바뀐다.

④ 출발 후 [eqn: 3]초부터 [eqn: 5]초까지는 처음 운동방향의 반대방향으로
움직인다.

⑤ 출발 후 [eqn: 4]초가 지났을 때 원점으로부터의 거리가 가장 멀다.

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

이때 [eqn: f(3)]의 값은? [4.6점]

(가) [eqn: f`'(1)=4]

(나) 모든 실수 [eqn: x], [eqn: y]에 대하여
[eqn: f(x+y)=f(x)+f(y)-xy(x+y)+3]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: x>0]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=lim_n->inf {x^n+1 +ax^2 -bx+7}over{2x^n +3]([eqn: n]은 자연수)가 [eqn: x=1]에서 미분가능할 때, [eqn: a+2b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수) [4.9점]

①

① [eqn: 32]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 38]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 45]

두 곡선 [eqn: y=x^2 -4x+4]와 [eqn: y=x^2 -12x+20]에 동시에 접하는 직선의 방정식을 [eqn: y=h(x)]라 할 때, [eqn: h(2)]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대칭이고, [eqn: f`'(27)=18],
[eqn: f`'(-3)=2]이다. [eqn: lim_x->3 {f(x)-f(3)}over{f(x^3 ) -f(27)]의 값을 [eqn: m]이라고 하면
[eqn: 3^7 times m]의 값은? [4.9점]

①

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)=3x^2 -3x-4]이고, [eqn: y=f(x)]의
그래프가 제[eqn: 1]사분면에서 직선 [eqn: y=2x-1]에 접한다고 할 때,
[eqn: lim_h->0 {f(1+3h+2h^2 ) -f(1+2h) }overh +f(0)]의 값은? [4.9점]

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다음은 구분구적법을 이용하여 반지름의 길이가 [eqn: r]인 반구의 부피 [eqn: S]를 구하는 과정이다. (가), (나), (다)에 알맞은 식을 바르게 짝지은 것은? [4.9점]

②

위 그림과 같은 반구에서 반지름의 길이 [eqn: r]을 [eqn: n]등분하여, 단면에 평행한 평면으로 잘라 [eqn: (n-1)]개의 원기둥을 만들었다. 이때 각 원기둥의 높이는 [eqn: (가)] 이므로 밑에서 [eqn: k]번째 원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 [eqn: r_k]라 하면 [eqn: r_k`^2 =```(나)] 이다. 따라서 [eqn: (n-1)]개의 원기둥의 부피의 합을 [eqn: V_n]이라 하면 [eqn: V_n =sum_k=1 ^n-1 pi times```(가)``` times```(나)] 이므로 [eqn: V=lim_n->inf V_n = ```(다)]

[eqn: (가)]	[eqn: (나)]	[eqn: (다)]

①	[eqn: r overn]	[eqn: left{ 1- k^2 over{(n-1)^2} right}r^2]	[eqn: 2over3 pir^3]

②	[eqn: r overn]	[eqn: left(1- k^2overn^2 right)r^2]	[eqn: 2over3 pir^3]

③	[eqn: r overn]	[eqn: left{ 1- (k-1)^2 overn^2 right}r^2]	[eqn: 2over3 pir^3]

④	[eqn: r overn-1]	[eqn: left(1- k^2overn^2 right)r^2]	[eqn: 4over3 pir^3]

⑤	[eqn: r overn-1]	[eqn: left{ 1- k^2 over{(n-1)^2} right}r^2]	[eqn: 4over3 pir^3]

곡선 [eqn: y=-x^2 +4x]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 직선 [eqn: y=mx]가 이등분한다고 할 때, 실수 [eqn: m]의 값은? [4.9점]

④

① [eqn: 8-root3 of16]	② [eqn: 8-root3 of32]	③ [eqn: 4- root3 of 16]

④ [eqn: 4- root3 of32]	⑤ [eqn: 4- root3 of48]

함수 [eqn: f(x)=x^3 -3x^2 -24x+a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= left vert f(x) right vert]라고 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=alpha], [eqn: x=beta] [eqn: (alpha<beta)]에서 극댓값을 가질 때, [eqn: |`g(alpha) -g(beta) `| >8]을 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 개수는? [5.1점]

④

① [eqn: 13]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 49]

④ [eqn: 70]	⑤ [eqn: 98]

자연수 [eqn: n]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, 다음 조건을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f(x)]의 극솟값을 [eqn: a_n]이라 하자.

[eqn: a_n]이 정수가 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은? [5.1점]

(가) [eqn: f(-2n)=0]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x-2n)f(x) ge0]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: [0,```1]]를 [eqn: n]등분한 후 양 끝점을 포함하여 각 분점을 차례대로
[eqn: 0=x_0 ,```x_1 ,```x_2 ,```cdots,```x_n-1 ,```x_n =1]
이라고 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.1점]

⑤

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)=x^2]에 대하여 [eqn: S_n =sum_k=1 ^n f(x_k ) 1overn],
[eqn: T_n =sum_k=1 ^n f(x_k-1 ) 1overn]이라고 할 때,
[eqn: |`S _{n} -T _{n} `| LEQ {1} over {50}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의
최솟값은 [eqn: 200]이다.

ㄴ. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]에
대하여 [eqn: lim_n->inf sum_k=1 ^n 1overn left{{g(x_k-1 )+g(x_k )}over2 right}=int_0 ^1 g(x)dx]

ㄷ. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)]에
대하여 [eqn: sum_k=0 ^n-1 {h(x_k )} overn le int_0 ^1 h(x)dx le sum_k=1 ^n{ h(x_k )} overn]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

같은 높이의 지면에서 동시에 출발하여 지면과 수직인 방향으로 올라가는 두 물체 [eqn: RMA], [eqn: RMB]가 있다. 그림은 시각 [eqn: t```(0 le t lec )]에서 물체 [eqn: RMA]의 속도 [eqn: f(t)]와 물체 [eqn: RMB]의 속도 [eqn: g(t)]를 나타낸 것이다.

[eqn: int_0 ^c f(t)dt >int_0 ^c g(t)dt]이고 [eqn: 0 le t le c]일 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [5.1점]

②

ㄱ. [eqn: t=a]일 때, 물체 [eqn: RMA]는 물체 [eqn: RMB]보다 높은 위치에
있다.

ㄴ. [eqn: t=b]일 때, 물체 [eqn: RMA]와 물체 [eqn: RMB]의 높이는 같다.

ㄷ. [eqn: t=c]일 때, 물체 [eqn: RMA]는 물체 [eqn: RMB]보다 높은 위치에
있다.

ㄹ. [eqn: 0le t le c]일 때, 물체 [eqn: RMB]의 가속도는 일정하게
증가한다.

① ㄱ, ㄴ	② ㄱ, ㄷ	③ ㄴ, ㄹ

④ ㄱ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄴ, ㄷ, ㄹ

서술형

함수 [eqn: f(x)= 1over3 x^3 -ax^2 +(3a+4)x]가 구간 [eqn: [1,```3]]에서 증가하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수를 구하고 그 과정을 서술하시오. [8점]

[eqn: 10]

다음 물음에 답하시오. [총 7점]

(1) [eqn: 3]

(2) [eqn: 1]

(1) 함수 [eqn: f(x)=x^3 -ax^2 +ax]의 역함수가 존재하도록 하는

상수 [eqn: a]의 최댓값 [eqn: M]을 구하고 그 과정을 서술하시오.

[3점]

(2) (1)에서 구한 [eqn: a=M]일 때의 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를

[eqn: g(x)]라 할 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]로 둘러싸인

부분의 넓이를 구하고 그 과정을 서술하시오. [4점]

[2017년 백석고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com